体の準同型は単射・中への同型
(体⇒環なので、体K∈Hom(K,L)たりえるし、ゆえに1_kは1_lに移される)
体の準同型f ⇒ f単射
「体の準同型」⇒「f(k)=0 ⇒ k=0 示せる(後述)」⇒「ker(f)=0」⇒「f単射」
- f(仮定k≠0)=0 ⇒[体∴逆元も有り。f(k ̄)を掛ける]⇒
- f(k ̄)f(k)=0 ⇒[準同型]⇒
- f(k ̄ k)=f(1)=0 ⇒[準同型∴1は1に移る]⇒
- 1=0 ⇒[これは矛盾∴背理法より]⇒ k=0
f:X→Y の 中への同型 の様な物(?)
とは、Xに同型な物が、Y内部に存在する感じ?
X同型Im(X)⊂Y。
- [234]
- ↓↓↓
- [①②③④⑤⑥]
f:K→Lが体の準同型 ⇒ fは中への同型
体の準同型は単射準同型(一番上)なのでker(f)=0、これと準同型定理より
K 同型 K/{0} 同型 K/ker(f) 同型 Im(K) …△
像の定義より Im(∀A⊂K)⊂L ∴ Im(K)⊂L …□
△、□より。