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体の準同型は単射・中への同型

(体⇒環なので、体K∈Hom(K,L)たりえるし、ゆえに1_kは1_lに移される)

 

体の準同型f ⇒ f単射

「体の準同型」⇒「f(k)=0 ⇒ k=0 示せる(後述)」⇒「ker(f)=0」⇒「f単射

  • f(仮定k≠0)=0 ⇒[体∴逆元も有り。f(k ̄)を掛ける]⇒
  • f(k ̄)f(k)=0 ⇒[準同型]⇒ 
  • f(k ̄ k)=f(1)=0 ⇒[準同型∴1は1に移る]⇒ 
  • 1=0 ⇒[これは矛盾∴背理法より]⇒ k=0

 

 f:X→Y の 中への同型 の様な物(?)

とは、Xに同型な物が、Y内部に存在する感じ?

X同型Im(X)⊂Y。

  •  [234]
  •   ↓↓↓
  • [①②③④⑤⑥]

 

f:K→Lが体の準同型 ⇒ fは中への同型

体の準同型は単射準同型(一番上)なのでker(f)=0、これと準同型定理より

K 同型 K/{0} 同型 K/ker(f) 同型 Im(K) …△

像の定義より Im(∀A⊂K)⊂L ∴ Im(K)⊂L …□

△、□より。