体の準同型は単射・中への同型

数学

(体⇒環なので、体K∈Hom(K,L)たりえるし、ゆえに1_kは1_lに移される)

 

体の準同型f　⇒　f単射

「体の準同型」⇒「f(k)=0 ⇒ k=0 示せる(後述)」⇒「ker(f)=0」⇒「f単射」

  • f(仮定k≠0)=0　⇒[体∴逆元も有り。f(k￣)を掛ける]⇒
  • f(k￣)f(k)=0　⇒[準同型]⇒　
  • f(k￣ k)=f(1)=0　⇒[準同型∴1は1に移る]⇒　
  • 1=0　⇒[これは矛盾∴背理法より]⇒　k=0

 

 f:X→Y の 中への同型 の様な物(?)

とは、Xに同型な物が、Y内部に存在する感じ？

X同型Im(X)⊂Y。

  • 　[２３４]
  • 　 ↓↓↓
  • [①②③④⑤⑥]

 

f:K→Lが体の準同型　⇒　fは中への同型

体の準同型は単射準同型(一番上)なのでker(f)=0、これと準同型定理より

K 同型 K/{0} 同型 K/ker(f) 同型 Im(K)　…△

像の定義より Im(∀A⊂K)⊂L ∴ Im(K)⊂L　…□

△、□より。